印象——DSP

从一个现象入手

都知道模拟信号经过要想通过计算机处理需要对其进行采样，采样的过程可以看作一个连续函数的离散化，也可以看作信号经过一个电子开关。当然，这样就会引入一个新的参数——采样频率。

假设有一信号，y = cos(0.5x)。我们使用 matlab 对其进行分析：

n = 0:1:300;                                                    
x = cos(0.5*pi*n); 
w = (0:1:1000)*pi/1000;                              
X= x* exp(-j).^(n'*w);                                          
magX = abs(X); 
plot(w/pi,magX);grid

使用 300 点的离散信号，可以看作对模拟信号的采样，自然而然地产生了采样频率 = 300 / 300 = 1 HZ。
从结果上看，响应大部分集中在 0.5pi 的区域，与原函数特性相符。
横轴用 1000 点的离散值逼近连续值，这样的分析方法称为 DTFT——离散时间傅里叶变换。变换特点为时域离散信号变为频域连续信号。

为了简便起见，频率（横轴）的范围是0~pi，会不会有什么东西漏掉了呢？
修改第三行将范围扩大：

w = (0:1:1000)*5*pi/1000;

在 1.5pi、2.5pi、3.5pi…地方均出现了响应。为什么呢？

记得之前分析过，采样频率为 1HZ，使用公式 Ω = 2pi * f 可将其转换为角频率 = 1pi。
实际上在频域中，通过采样后的图像为原图像以采样频率进行的周期性延拓。因此会在 0.5 ± N*采样频率(N=0,1,2,..)的地方出现响应。可这是为什么呢？

还是回到时域中来，我们的信号就像一颗颗珠子：

n = 0:1:300;                                                    
x = cos(0.5*pi*n);
plot(n,x,'*');
axis([0 50 -2 2]);

傅里叶分析的目的是观察信号的频率，而我们事先已经知道了这些点是频率为 0.5 pi 的信号，只不过离散处理了。那么我们是否能够用频率为 0.5 pi 的连续信号将其串起来呢？换句话说：想要知道信号的频率，就用此频率的信号去拟合，拟合上了就说明信号符合这一频率。

使用 y = cos(0.5πx) 拟合：

n = 0:1:300;                                                    
x = cos(0.5*pi*n);
plot(n,x,'*');
axis([0 50 -2 2]);
hold on;
t = 0:0.01:300;
plot(t,cos(0.5*pi*t),'r');

果不其然，信号完美的落在了红线上。就像串项链一般。
但串法唯一吗？

既然傅里叶分析出了 1.5pi、2.5pi、3.5pi… 的频率，不妨试一试用 cos(1.5πx)、cos(2.5πx)、cos(3.5πx) 串一下：

n = 0:1:300;                                                    
x = cos(0.5*pi*n);
t = 0:0.01:300;
subplot(3,1,1)
plot(t,cos(1.5*pi*t),'r');
hold on
plot(n,x,'*');
axis([0 50 -2 2]);
subplot(3,1,2)
plot(t,cos(2.5*pi*t),'r');
hold on
plot(n,x,'*');
axis([0 50 -2 2]);
subplot(3,1,3);
plot(t,cos(3.5*pi*t),'r');
hold on
plot(n,x,'*');
axis([0 50 -2 2]);